Kosinüs teoremi ile bir kenar uzunluğu nasıl hesaplanır?

Trigonometrinin temel kurallarından biri olan kosinüs teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiyi ortaya koyar. Bu teorem sayesinde, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilinen herhangi bir üçgende üçüncü kenarın uzunluğu hesaplanabilir.

Konu kakkında 1 soru soruldu ve cevaplandı

Kosinüs Teoremi Nedir?

Kosinüs teoremi, bir üçgende kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel bir trigonometrik kuraldır. Pisagor teoreminin genelleştirilmiş halidir ve her türlü üçgende (dik üçgen olmasa bile) geçerlidir. Teorem, bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde, üçüncü kenarın uzunluğunu hesaplamak için kullanılır.

Kosinüs Teoreminin Formülü

Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla A, B, C olsun. Kosinüs teoremi aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

Bu formüllerden, hesaplanmak istenen kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur.

Bir Kenar Uzunluğu Hesaplama Adımları

Bir kenar uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki adımları izleyebilirsiniz:

Hangi kenarın hesaplanacağını belirleyin ve formülü buna göre seçin.
Bilinen iki kenarın uzunluklarını ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsünü not edin.
Açının kosinüs değerini hesaplayın veya trigonometrik tablolardan/hesap makinesinden bulun.
Formüldeki değerleri yerine koyarak işlemleri yapın.
Sonucun karekökünü alarak kenar uzunluğunu bulun.

Örnek Hesaplama

Bir üçgende b = 7 cm, c = 5 cm ve bu kenarlar arasındaki A açısı 60° olsun. a kenarını hesaplayalım:

Formül: a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
Değerleri yerine koyalım: a² = 7² + 5² - 2·7·5·cos(60°)
cos(60°) = 0.5 olduğundan: a² = 49 + 25 - 70·0.5
a² = 74 - 35 = 39
a = √39 ≈ 6.24 cm

Dikkat Edilmesi Gerekenler

Açı, hesaplanacak kenarın karşısındaki açı değil, bilinen iki kenarın arasındaki açıdır.
Kosinüs değerleri derece cinsinden açılar için hesaplanmalıdır.
Sonuç her zaman pozitif bir uzunluk olacağından karekök alırken pozitif değer alınır.
Teorem, özellikle dik olmayan üçgenlerde kenar hesaplamak için idealdir.

Kosinüs teoremi, geometri ve trigonometride yaygın olarak kullanılan güçlü bir araçtır ve üçgenlerle ilgili birçok problemin çözümünde temel oluşturur.

Yeni Soru Sor / Yorum Yap

Sizden Gelen Sorular / Yorumlar